Teoreme KIRCHHOFF

Teoremele lui Kirchhoff

Necesitatea realizării unor circuite electrice mai complicate, cu mai multe ramificaţii impune realizarea unor reţele electrice mai complexe ce prezintă noduri, laturi şi bucle (ochiuri) (fig. 2.4)

Fig. 2.4. Reţea electrică buclată.

Nodul este orice punct al reţelei în care se întâlnesc cel puţin trei ramuri.

Latura – porţiunea cuprinsă între două noduri.

Ochiul (bucla) – conturul poligonal închis, alcătuit din succesiunea mai multor laturi, surse sau consumatori)

Kirchhoff a demonstrat în 1847 două teoreme pentru reţelele (circuitele) electrice şi anume:

Teorema 1

Suma algebrică a intensităţilor curenţilor electrici care se întâlnesc (converg) într-un nod este egală cu zero.

Pentru a demonstra această afirmaţie se consideră conturul închis din fig. 2.5. Legea conservării sarcinii ne permite să scriem că:

                        Q₁ = Q₂ + Q₃ + Q₄ şi raportând-o la intervalul t rezultă:

                  

                                                                sau       I₁ = I₂ + I₃ + I₄

Fig. 2.5. Nod de reţea electrică. Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff.

            Adoptând convenţia că, curentul I este pozitiv (adică I > 0) dacă intră în nod şi negativ (adică I < 0), dacă iasă din nod, se poate scrie.

                       

           

 De fapt această teoremă nu este altceva decât o altă formă a legii conservării sarcinii electrice. La aplicarea acestei legi pentru cele n noduri de reţea se obţin n ecuaţii dintre care numai n-1 sunt independente.

           

Teorema 2

Pentru o reţea, se alege pentru fiecare ramură câte un sens al curentului electric. Pentru fiecare buclă (ochi), se adoptă un sens arbitrar de parcurs. Dacă sensul coincide cu sensul curentului, atunci produsul I·R se ia cu semnul pozitiv, dacă nu  se ia cu semnul negativ.

Tensiunea electromotoare este pozitivă, dacă sensul de parcurs pentru ochi (buclă) intră borna negativă (-) şi iasă din borna pozitivă (+).

Enunţ: De-a lungul unui contur de reţea (ochi), suma algebrică a tensiunilor electromotoare este egală cu suma algebrică a produselor dintre intensitatea curenţilor şi rezistenţele laturilor, adică:

         

Cu ajutorul acestei teoreme se pot obţine ecuaţii numai pentru ochiurile (buclele) independente. Numărul de bucle independente este dat de relaţia:

            b = l – n + 1,

unde:

            b  este numărul buclelor independente,

            n – numărul de noduri,

            l – numărul de laturi.

De exemplu, aplicând teoremele lui Kirchhoff se pot rezolva anumite circuite electrice foarte comod (fig. 2.6).

Fig. 2.6. Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.

                        b = 3 –2 + 1 = 2, deci avem două bucle independente

                        I₁ + I₂ = I₃ prin aplicarea primei teoreme

                        E₁ = I₁ · R₁ + I₃ · R₃ = I₁ · R₁ + (I₁ + I₂) · R₃

                               E₂ = I₂ · R₂ + I₃ · R₃ = I₂ · R₂ + (I₃ + I₂) · R₃

            sau E₁ = I₁ · (R₁ + R₃) + I₂ · R₃, E₂ = I₁ · R₃ + (R₂ + R₃) · I₂

Teoremele lui Kirchhoff permit soluţionarea a două probleme importante în circuitele electrice şi anume: gruparea rezistoarelor şi gruparea surselor.